解题思路:将函数F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点转化为g(x)-f(x)-m=0在[1,2]上有解,进而求出函数g(x)-f(x)的取值范围即可得到结论.
若F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点,
即F(x)=g(x)-f(x)-m=0在[1,2]上有解,
即-m=f(x)-g(x)=log2(2x+1)-log2(2x-1),在[1,2]上有解,
设m(x)=log2(
2x+1
2x-1)=log2(
2x-1+2
2x-1)=log2(1+[2
2x-1),
当x∈[1,2]时,y=1+
2
2x-1单调递减,则根据复合函数单调性之间的关系可知m(x)=log2(1+
2
2x-1)单调递减,
则m(2)≤m(x)≤m(1),
即log2
4/3]≤m(x)≤log23,
则log2[4/3]≤-m≤log23,
即-log23≤m≤-log2[4/3]
故m的取值范围是[-log23,-log2[4/3]].
点评:
本题考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理.
考点点评: 本题主要考查函数零点的应用,将方程关系转化为函数,利用函数的单调性求出最值是解决本题的关键.