Question

点E是三角形ABC中,边AB的中点,点F是AC的三等分点（与点A的最近的点）,BF和CE交于点G.若向量AG=x*向量A

Answer 1

向量EG与EC共线,

所以向量EG=mEC.(m是确定的实数)

根据向量的加减法法则：向量AG=AE+EG= AE+ mEC

=1/2AB+m(AC-AE)

=1/2AB+m(AC-1/2AB)

=(1/2-1/2m) AB+mAC,

向量FG与FB共线,

所以向量FG=nFB.(n是确定的实数)

向量AG= AF+FG= AF+ nFB

=1/3AC+n(AB-AF)

=1/3AC+n(AB-1/3AC)

= nAB+(1/3-1/3n)AC,

综上可知

向量AG=(1/2-1/2m) AB+mAC= nAB+(1/3-1/3n)AC,

所以1/2-1/2m= n,m=1/3-1/3n,

解得m=1/5,n=2/5,

∴向量AG=2/5 AB+ 1/5AC,

由已知：AE=1/2AB,AF=1/3AC,

∴向量AG=4/5 AE+ 3/5AF,

所以x+y=7/5.