解题思路：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断①正确，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，判断②正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断④正确；根据同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判断⑤正确，并得到③错误．
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD＝AD
DE＝DC，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC=BE+AE=AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B=90°，
∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
点评：
本题考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键．