解题思路：（1）直接把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=-2，c=-3，则二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）由于抛物线为轴对称图形，要得到四边形ABPC为等腰梯形，只有PC∥AB，则点P与点C是抛物线上的对称点，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得到点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，-[3/2]），则点P的纵坐标为-[3/2]，再把y=[3/2]代入y=x2-2x-3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．
（4）过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于△BPC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BPC的面积最大时对应的P点的坐标．
（1）把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c得
1−b+c＝0
c＝−3，
解得
b＝−2
c＝−3，
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）如图1，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴点P与点C是抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为直线x=-[−2/2×1]=1，
∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，-[3/2]），
∴点P的纵坐标为-[3/2]，
把y=-[3/2]代入y=x2-2x-3得x2-2x-3=-[3/2]，
解得x=
2±
10
2，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=
2+
10
2，
∴满足条件的点P的坐标为（
2+
10
2，-[3/2]）．
（4）如图3，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S△BPC=S△BPQ+S△CPQ
=[1/2]QP•BF+[1/2]QP•OF
=[1/2]（-x2+3x）×3
=-[3/2]（x-[3/2]）2+[27/8]，
当x=[3/2]时，△BPC的面积最大，
此时P点的坐标为（[3/2]，-[15/4]）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-[b/2a]）2+4ac−b24a，抛物线的对称轴为x=-[b/2a]，当a＞0，y最小值=4ac−b24a；当a＜0，y最大值=4ac−b24a；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．同时考查了图形面积的求法等知识点．