解题思路：（1）利用导数结合参数条件，判断导函数的正负，得到原函数的单调区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．
（1）∵f（x）=ax3-3x，
∴f′（x）=3ax2-3，
∵a≤0，所以f′（x）＜0对任意实数x∈R恒成立，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）．
（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，
由f（2）=4得a=
5
4，（不符合舍去），
当a＞0时，f′（x）=3ax2-3=0的两根x=±
1
a，
①当
1
a≤1，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）=4得a=7；
②当
1
a≥2，即0＜a≤
1
4时 f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立 f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）=4，a=
5
4（不符合舍去）；
③当1＜
1
a＜2，即
1
4＜a＜1时，f（x）在区间[1，
1
a]是减函数，f（x）在区间[
1
a，2]是增函数；所以f(
1
a)=4无解．
综上，a=7．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．