如图,抛物线y=ax 2 +bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.

1个回答

  • (1)抛物线的解析式为y=﹣

    x 2+

    x+4;

    (2)线段PQ的最大值为

    (3)符合要求的点M的坐标为(

    ,9)和(

    ,﹣11).

    试题分析:(1)如图1,易证BC=AC,从而得到点B的坐标,然后运用待定系数法求出二次函数的解析式;

    (2)如图2,运用待定系数法求出直线AB的解析式.设点P的横坐标为t,从而可以用t的代数式表示出PQ的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题;

    (3)由于AB为直角边,分别以∠BAM=90°(如图3)和∠ABM=90°(如图4)进行讨论,通过三角形相似建立等量关系,就可以求出点M的坐标.

    试题解析:(1)如图1,

    ∵A(﹣3,0),C(0,4),

    ∴OA=3,OC=4.

    ∵∠AOC=90°,

    ∴AC=5.

    ∵BC∥AO,AB平分∠CAO,

    ∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.

    ∴BC=AC.

    ∴BC=5.

    ∵BC∥AO,BC=5,OC=4,

    ∴点B的坐标为(5,4).

    ∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax 2+bx+c上,

    解得:

    ∴抛物线的解析式为y=﹣

    x 2+

    x+4;

    (2)如图2,

    设直线AB的解析式为y=mx+n,

    ∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直线AB上,

    解得:

    ∴直线AB的解析式为y=

    x+

    设点P的横坐标为t(﹣3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t.

    ∴y P=

    t+

    ,y Q=﹣

    t 2+

    t+4.

    ∴PQ=y Q﹣y P=﹣

    t 2+

    t+4﹣(

    t+

    =﹣

    t 2+

    t+4﹣

    t﹣

    =﹣

    t 2+

    +

    =﹣

    (t 2﹣2t﹣15)

    =﹣

    [(t﹣1) 2﹣16]

    =﹣

    (t﹣1) 2+

    ∵﹣

    <0,﹣3≤1≤5,

    ∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为

    ∴线段PQ的最大值为

    (3)①当∠BAM=90°时,如图3所示.

    抛物线的对称轴为x=﹣

    =﹣

    =

    ∴x H=x G=x M=