(1)抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+4;
(2)线段PQ的最大值为
;
(3)符合要求的点M的坐标为(
,9)和(
,﹣11).
试题分析:(1)如图1,易证BC=AC,从而得到点B的坐标,然后运用待定系数法求出二次函数的解析式;
(2)如图2,运用待定系数法求出直线AB的解析式.设点P的横坐标为t,从而可以用t的代数式表示出PQ的长,然后利用二次函数的最值性质就可解决问题;
(3)由于AB为直角边,分别以∠BAM=90°(如图3)和∠ABM=90°(如图4)进行讨论,通过三角形相似建立等量关系,就可以求出点M的坐标.
试题解析:(1)如图1,
∵A(﹣3,0),C(0,4),
∴OA=3,OC=4.
∵∠AOC=90°,
∴AC=5.
∵BC∥AO,AB平分∠CAO,
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB.
∴BC=AC.
∴BC=5.
∵BC∥AO,BC=5,OC=4,
∴点B的坐标为(5,4).
∵A(﹣3.0)、C(0,4)、B(5,4)在抛物线y=ax 2+bx+c上,
∴
解得:
∴抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+4;
(2)如图2,
设直线AB的解析式为y=mx+n,
∵A(﹣3.0)、B(5,4)在直线AB上,
∴
解得:
∴直线AB的解析式为y=
x+
.
设点P的横坐标为t(﹣3≤t≤5),则点Q的横坐标也为t.
∴y P=
t+
,y Q=﹣
t 2+
t+4.
∴PQ=y Q﹣y P=﹣
t 2+
t+4﹣(
t+
)
=﹣
t 2+
t+4﹣
t﹣
=﹣
t 2+
+
=﹣
(t 2﹣2t﹣15)
=﹣
[(t﹣1) 2﹣16]
=﹣
(t﹣1) 2+
.
∵﹣
<0,﹣3≤1≤5,
∴当t=1时,PQ取到最大值,最大值为
.
∴线段PQ的最大值为
;
(3)①当∠BAM=90°时,如图3所示.
抛物线的对称轴为x=﹣
=﹣
=
.
∴x H=x G=x M=