Question

数列{an}满足a1=[3/2]，an+1=an2-an+1（n∈N*），则m=[1a1+1a2+…+1a2010的整数

Answer 1

解题思路：由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），从而可得

1

a

n

−1

-

1

a

n+1

−1

=

1

a

n

，通过累加，得

m＝

1

a

1

+

1

a

2

+…+

1

a

2010

=

1

a

1

−1

-

1

a

2011

−1

=2-

1

a

2011

−1

，由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，可得a₂₀₁₁≥a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₃＞2，从而可得0＜

1

a

2011

−1

＜1，所以1＜m＜2，故可得m的整数部分．

由题设知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），

∴

1

an+1−1=

1

an−1-

1

an，

∴

1

an−1-

1

an+1−1=

1

an，

通过累加，得m＝

1

a1+

1

a2+…+

1

a2010=

1

a1−1-

1

a2011−1=2-

1

a2011−1．

由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，

由a₁=

3/2]，得a₂=[7/4]，∴a₃=2[16/5]．

∴a₂₀₁₁≥a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₃＞2，

∴0＜

1

a2011−1＜1，

∴1＜m＜2，

所以m的整数部分为1．

故选B．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．