如图,在正方ABCD中,E是AB边上任一点,BG⊥CE,垂足为O,交AC于点F,交AD于点G.

2个回答

  • 解题思路:(1)要证明AG=BE,只要证明三角形ABG和EBC全等即可.两三角形中已知的条件有一组直角,AB=BC,只要再得出一组对应角相等即可.我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2,这样就构成了两三角形全等的条件ASA,因此两三角形全等.

    (2)要求E位于什么位置时,∠AEF=∠CEB,我们先看若两角相等能得出什么.若∠AEF=∠CEB,由(1)中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB,因此∠AEF=∠AGF,三角形GFA和AEF中,有一条公共边,∠DAC=∠CAB=45°,因此两三角形全等,那么AG=AE,由(1)知AG=BE,因此AE=BE,那么只有AE=BE时,∠AEF=∠CEB.

    (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠ABC=90°,

    ∴∠1+∠3=90°.

    ∵BG⊥CE,

    ∴∠BOC=90°.

    ∴∠2+∠3=90°.

    ∴∠1=∠2.

    在△GAB和△EBC中,

    ∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2,

    ∴△GAB≌△EBC(ASA).

    ∴AG=BE.

    (2)当点E位于线段AB中点时,∠AEF=∠CEB.理由如下:

    当点E位于线段AB中点时,AE=BE;

    由(1)知,AG=BE,

    ∴AG=AE;

    ∵四边形ABCD是正方形,

    ∴∠GAF=∠EAF=45°;

    又∵AF=AF,

    ∴△GAF≌△EAF(SAS);

    ∴∠AGF=∠AEF;

    由(1)知,△GAB≌△EBC;

    ∴∠AGF=∠CEB;

    ∴∠AEF=∠CEB.

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定,正方形的性质等知识点,利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法.