Question

交轨法求轨迹问题.求教数学达人A是圆x^2+y^2=r^2(r>0)上任意一点AB垂直x轴与B,以A为圆心|AB|为半径

Answer 1

设A点坐标为(Xa,Ya),M点坐标为(Xm,Ym)

以A为圆心|AB|为半径的圆的方程为(x-Xa)^2+(y-Ya)^2=AB^2

∵AB垂直x轴与B

∴AB^2=Ya^2

将2个圆方程联立,消去二次项得到公共弦CD的方程为

(-2Xa)*x+(-2Ya)y+Xa^2+Ya^2+r^2=Ya^2

∵A是圆x^2+y^2=r^2(r>0)上任意一点

∴Xa^2+Ya^2=r^2

CD方程化简为(2Xa)*x+(2Ya)y=2r^2-Ya^2

AB的方程为x=Xa

解上面2个联立方程求出AB与CD的交点M的坐标

Xm=Xa,Ym=Ya/2

∵Xa^2+Ya^2=r^2

∴Xm^2+(2Ym)^2=r^2

M轨迹方程为Xm^2+4Ym^2=r^2