解题思路:(I)利用f′(1)=0得到a,并利用极值的充分条件进行检验即可;(II)由题意可得:xlnx-ax2-x<-x,由x>0,可化为a>lnxx.设h(x)=lnxx,利用导数即可得到极值及其最值;(III)由(II)可知:h(x)在(e,+∞)上单调递减,可得lnxx>ln(x+1)x+1,化为lnxx+1>ln(x+1)x,即xx+1>(x+1)x,令x=2012,即可证明.
(I)f′(x)=lnx-2ax,(x>0).
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f′(1)=0,即0-2a=0,解得a=0.
∴f′(x)=lnx,
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,1)内单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)内单调递增.
∴函数f(x)在x=1时取得极小值.
(II)由题意可得:xlnx-ax2-x<-x,
∴xlnx-ax2<0,
∵x>0,∴a>[lnx/x].
设h(x)=[lnx/x],则h′(x)=[1−lnx
x2,
令h′(x)>0,解得0<x<e,∴h(x)在区间(0,e)上单调递增;
令h′(x)<0,解得e<x,∴h(x)在区间(e,+∞)上单调递减.
∴h(x)在x=e时取得极大值,即最大值,h(e)=
1/e].
∴a>[1/e].
(III)由(II)可知:h(x)在(e,+∞)上单调递减,
∴h(x)>h(x+1),
∴[lnx/x>
ln(x+1)
x+1],化为lnxx+1>ln(x+1)x,
∴xx+1>(x+1)x,
令x=2012,可得20122013>20132012.
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键.