Question

已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF

Answer 1

（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；

∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，

∴∠FEA=∠FAE，

∴∠FAE=∠EAC，

∴AE为角平分线，

∴EG=EC，

∴斜边AB是⊙E的切线．

（2）连CG与AE相交于点H，由切线长定理得到：AC=AG=8，

由EF=AF=5；得FG=AG-AF=8-5=3，

在Rt△EFG中，根据勾股定理得：EG=CE=

E F 2 -F G 2 =4，

∴AE=

A C 2 +C E 2 = 4

5 ，又

1

2 AE•GH=

1

2 AG•GE，

∴GH=

AG•GE

AE =

8

5

5 ，GC=2GH=

16

5

5 ，

∴DG=

(2C E) 2 -C G 2 =

8

5

5

∴S _Rt△DGC=

1

2 DG•CG=

64

5 ；

由Rt△DGC的面积为

64

5 ，

∵CD是直径，

∴∠DGC=90°，

∵AG、AC是⊙E切线，

∴AE⊥CG，

∴∠EHC=90°=∠DGC，

∴DG ∥ AE，

∴S _△AGD=S _△DGE=

1

2 S _Rt△DGC=

32

5 ．

1年前

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