已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

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  • 答案:h=2,如图:O为正方形ABCD的中心,连接SO,AC.直线SO即正四棱锥S-ABCD的高h,正方形ABCD的边长设为a,四棱锥S-ABCD设为V,V=h(a)平方/3,在正方形ABCD中,AO=CO=AC/2,AC=a倍根号2,所以AO=CO=AC/2=(a倍根号2)/2,直线SO即正四棱锥S-ABCD的高,SO⊥正方形ABCD,所以SO⊥AC,在RT三角形SOA中,(OA)平方+(SO)平方=(SA)平方,即【(a倍根号2)/2】平方+(h)平方=(2倍根号3)平方,化简得(a)平方+2(h)平方=24.(其中a>0,h>0,且2(h)平方<24即h<2倍根号3),将(a)平方=24-2(h)平方代入V=h(a)平方/3.得V=h【24-2(h)平方/3】=8h-2(h)立方/3.令V=0.使其构成一个方程式f(V)=8h-2(h)立方/3=0,对其求导得f'(V)=8-2(h)平方,令f'(V)=0得h=2.其中0<h<2倍根号3,当0<h≤2时,f'(V)≥0,f(V)为增函数,当2<h<2倍根号3时,f'(V)<0,f(V)为减函数,所以当h=2时,f(V)取最大值,所以答案为h=2.希望我的回答能帮助您!