Question

导数和微分设对任意x和y,函数f(x)满足等式f(x+y)=f(x)f(y)且f'(0)=1.证明：f'(x)=f(x)

Answer 1

f(x+0)=f(x)*f(0)=f(x)

所以f(0)=1

f(x+Δx)=f(x)*f(Δx)

f(x+Δx)-f(x)=f(x)*f(Δx)-f(x)

lim(Δx->0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=lim(Δx->0)[f(x)*f(Δx)-f(x)]/Δx

所以

f'(x)=f(x)f'(0)

因为f'(0)=1

所以f'(x)=f(x)