（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP ∽ △CAP．（1分）
∴
BP
AP =
AP
PC ．
即
x
x 2 +16 =
x 2 +16
y ．（1分）
∴所求的函数解析式为 y=
x 2 +16
x （x＞0）．（1分）
（2）CD的长不会发生变化．（1分）
延长CA交直线MN于点E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB ∥ CD．
∴
AB
CD =
AE
CE =
1
2 ．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）
（3）∵圆C与直线MN相切，
∴圆C的半径为8．（1分）
（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴
x 2 +16
x =x+8 ，
∴x=2，（1分）
∴BP=2，
∴CP=y=2+8=10，
根据勾股定理得PD=6
∴BP：PD=
1
3 ．（1分）
（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴
x 2 +16
x =|x-8| ．
∴
x 2 +16
x =x-8 或
x 2 +16
x =8-x ．
∴x=-2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分）
∴综上所述BP：PD=
1
3 ．
1年前
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