Question

高一上学期关于函数的数学题：定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)

Answer 1

1.证 令 x=y=0 得 2f(0) = 2f(0)^2 因为 f(x) ≠ 0 故 f(x) = 1

2.解 令y=0 得 f(x)=f[(x+y)/2 + (x-y)/2]

=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f[(x+y)/2 - (x-y)/2]

=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f(y)

f(-x) = f[(y-x)/2 - (y+x)/2]

= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f([(y-x)/2 + (y+x)/2)

= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f(y)

f(x)=f(-x)

故函数f(x) 为偶函数