举个例子,十进制数abcdef(其中a,b,c,d,e,f为各数位上的数字,均为为小于10的正整数,且a不为零)可以表示为a*10^5+b*10^4+c*10^3+d*10^2+e*10^1+f （1）
由于（1）式是十进制,而我们得运算也建立在十进制得基础上,所以相加后就是abcdef.
下面看一个二进制数ghijkl(其中g,h,i,j,k,l为各数位上的数字,均为为小于2的正整数,且g不为零)若按十进制的加法表示方法,可以表示成
g*2^5+h*2^4+i*2^3+j*2^2+k*2^1+l （2）
注意如果（2）式中的运算是二进制的,那么它的结果是ghijkl（因为逢二进一）.如果运算是十进制的呢?由于g,h,i,j,k,l在数字特征上本身就是十进制的,那么结果也就变成十进制的了.这也就是进制之间低位转高位使用幂次方的直接原因.
下面来看余数.
由于任何一个十进制数都可以转化为二进制,那么令一个十进制数X=g*2^5+h*2^4+i*2^3+j*2^2+k*2^1+l （注意这里的运算是十进制的）
则X÷2=g*2^4+h*2^3+i*2^2+j*2^1+k …… l
令Y=g*2^4+h*2^3+i*2^2+j*2^1+k
则Y÷2=g*2^3+h*2^2+i*2^1+j …… k
依此继续,可以发现我们的余数按出现的先后顺序,并以从低位到高位的顺序排列正好得到了ghijkl这个二进制数.这也就是高位转低位取余的直接原因.
其实,按照数学史上的研究,二进制数的定义是依照十进制数的定义而产生的,在定义上,二进制的代数学表达式只是将进制中的底数10改为2（参见式（1）（2））.而其意义就是将复杂的十进制运算,转化为简单的二进制计算.比如十进制加法,个位与个位相加,和的个位数字有10种选择,再算上十位是否进一这种选择总共有11种选择；而对于二进制,第一位与第一位相加,和的第一位有两种选择,再算上第二位是否进一这种选择总共有3种选择.这对每一位上的计算是一种简化.
那么,按照人类的思维习惯,这样的二进制既然这样方便,那么该如何变为我们常见的十进制呢?十进制又如何变为二进制,而方便运算呢?这就是幂与余数两种方法的产生原因.而方法的意义在于人们可以不必详细了解定义,直接进行应用.这也就是说,方法是为了更高效的解决问题,而由原始复杂的定义中产生出来的.
如果一定要说他们之间的关系的话,可总结为幂的底数为几进制中的几（可称为进制数）,幂的指数为（此位所处的位数-1）（从右向左计）,而第几次的余数就是第几位上与幂相乘的数（这个数为小于进制数的非负整数）.