解题思路:△ADE与△AEB相似,证明如下:由∠C=90°,且AC=EC,得到△AEC为等腰直角三角形,且得到BE等于2AB,同时可得出∠AEC=45°,根据锐角三角函数定义表示出关系式,得出AE与AC的关系,即为AE与DE的关系,求出AE与DE的比值,由BE为AC的2倍,求出BE与AE的比值,可得出两比值相等,再根据夹角为公共角,利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似,可得出△ADE与△AEB相似,得证.
△AED∽△BEA,…(2分)
证明如下:
在△AED和△BEA中,
∵△ABC中,∠C=90°,BD=DE=EC=AC,
∴△AEC为等腰直角三角形,BE=BD+DE=2BD=2AC,
∴∠AEC=45°,即sin∠AEC=[AC/AE],
∴AE=
AC
2
2=
2AC,
∴[AE/DE]=[BE/AE]=
2
2=
2,…(3分)
∵∠AED=∠BEA,…(4分)
∴△AED∽△BEA.…(5分)
点评:
本题考点: 相似三角形的判定.
考点点评: 此题考查了等腰直角三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及相似三角形的判定,相似三角形的判定方法有:两对对应角相等的两三角形相似;三边对应成比例的两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.