如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E在BC上,BD=DE=EC=AC,指出图中哪两个三角形相似,并证明你的结论.

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  • 解题思路:△ADE与△AEB相似,证明如下:由∠C=90°,且AC=EC,得到△AEC为等腰直角三角形,且得到BE等于2AB,同时可得出∠AEC=45°,根据锐角三角函数定义表示出关系式,得出AE与AC的关系,即为AE与DE的关系,求出AE与DE的比值,由BE为AC的2倍,求出BE与AE的比值,可得出两比值相等,再根据夹角为公共角,利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似,可得出△ADE与△AEB相似,得证.

    △AED∽△BEA,…(2分)

    证明如下:

    在△AED和△BEA中,

    ∵△ABC中,∠C=90°,BD=DE=EC=AC,

    ∴△AEC为等腰直角三角形,BE=BD+DE=2BD=2AC,

    ∴∠AEC=45°,即sin∠AEC=[AC/AE],

    ∴AE=

    AC

    2

    2=

    2AC,

    ∴[AE/DE]=[BE/AE]=

    2

    2=

    2,…(3分)

    ∵∠AED=∠BEA,…(4分)

    ∴△AED∽△BEA.…(5分)

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定.

    考点点评: 此题考查了等腰直角三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及相似三角形的判定,相似三角形的判定方法有:两对对应角相等的两三角形相似;三边对应成比例的两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.