解题思路:(Ⅰ)由题设条件知,本题可由面面垂直的性质定理证明线面垂直,由面BB1C1C⊥面ABC,因为面BB1C1C∩面BB1C1C=BC,AC⊥BC,易得所证明结论;
(II)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值可取BB1中点E,连接CE,AE,证明∠CEA即为二面角A-B1B-C的平面角,再解三角形求出线面角的正切值即可;
(III)由(I)结合题设条件三棱锥P-BB1C为正三棱锥可得出点P必在过三角形BB1C的重心且与直线AC平行的直线上,找出此线与面AA1B1B的交点,此点即为P,求出P到平面BB1C距离即可.
(I)面BB1C1C⊥面ABC,因为面ABC∩面BB1C1C=BC,AC⊥BC,所以AC⊥面BB1C1C.
(II)取BB1中点E,连接CE,AE,在△CBB1中,BB1=CB=2,∠CBB1=60°
∴△CBB1是正三角形,∴CE⊥BB1,
又AC⊥面BB1C1C且BB1⊂面BB1C1C,
∴BB1⊥AE,即∠CEA即为二面角A-B1B-C的平面角为30°,
∵AC⊥面BB1C1C,∴AC⊥CE,
在Rt△ECA中,∵CE=
3,
∴AC=CE•tan30°=1,
又AC⊥面BB1C1C,∴∠CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角,
在Rt△B1CA中,tan∠CB1A=[AC
CB1=
1/2]
(III)在CE上取点P1,使
CP1
P1E=[2/1],则因为CE是△B1BC的中线,
∴P1是△B1BC的重心,
在△ECA中,过P1作P1P∥CA交AE于P,⇔AC⊥面BB1C1C,P1P∥CA
∴P1P⊥面CBB1,即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心,该点即为所求,且
PP1
AC=[1/3],
∴PP1=[1/3].
点评:
本题考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查了面面垂直的性质定理、线面角的求法及点到面距离的求法,考查了数形结合及推理判断的能力,解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质及线面角的平面角的做法,本题是立体几何中的有一定难度的题,是高考中的常考题型.