Question

已知数列{a n }满足：a 1 =1；a n+1 -a n =1，n∈N * ．数列{b n }的前n项和为S n ，

Answer 1

（1）由已知a ₁=1； a n+1 - a n =1，n∈ N * ，

∴数列{a _n}为等差数列，首项为1，公差为1．

∴其通项公式为a _n=n…（3分）

∵S _n+b _n=2，∴S _n+1+b _n+1=2，

两式相减，化简可得

b n+1

b n =

1

2 ，

∴数列{b _n}为等比数列，

又S ₁+b ₁=2，

∴b ₁=1，

∴ b n =

1

2 n-1 …（7分）

（2）由已知得： c n =n•

1

2 n-1

∴ T n =1+

2

2 +

3

2 2 +…+

n

2 n-1 ，

∴

1

2 T n =

1

2 +

2

2 2 +

3

2 3 +…+

n-1

2 n-1 +

n

2 n

∴

1

2 T n =1+

1

2 +

1

2 2 +

1

2 3 +…+

1

2 n-1 -

n

2 n =

1-

1

2 n

1-

1

2 -

n

2 n =2(1-

1

2 n )-

n

2 n …（11分）

∴ T n =4(1-

1

2 n )-

n

2 n-1 =4-

2+n

2 n-1 …（13分）