如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,∠PAD

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  • 解题思路:(Ⅰ)欲证CD⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直,根据面面垂直的性质定理可知PA⊥底面ABCD,则PA⊥CD,利用勾股定理可知AC⊥CD,PA∩AC=A,满足定理条件;

    (Ⅱ)欲证BE∥平面PCD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BE与平面PCD内一直线平行,设侧棱PD的中点为F,连接BE,EF,FC,易证四边形BEFC为平行四边形,则BE∥CF,BE⊄平面PCD,CF⊂平面PCD,满足定理所需条件.

    />(Ⅰ)证明:

    因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

    又因为侧面PAD⊥底面ABCD,

    且侧面PAD∩底面ABCD=AD,

    所以PA⊥底面ABCD.

    而CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD.

    在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=

    1

    2AD,

    所以AC=CD=

    2

    2AD,所以AC⊥CD.

    又因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(6分)

    (Ⅱ)设侧棱PD的中点为F,连接BE,EF,FC,

    则EF∥AD,且EF=

    1

    2AD.

    由已知∠ABC=∠BAD=90°,

    所以BC∥AD.又BC=

    1

    2AD,

    所以BC∥EF.且BC=EF.

    所以四边形BEFC为平行四边形,所以BE∥CF.

    因为BE⊄平面PCD,CF⊂平面PCD,

    所以BE∥平面PCD.(13分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题主要考查了线面垂直的判定、以及线面平行的判定,同时考查了空间想象能力,推理论证能力,属于中档题.