Question

已知椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1），

Answer 1

解题思路：（1）确定圆的圆心坐标与半径，求出直线AF的方程，利用直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，求出c，即可求椭圆C的方程；

（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出|AB|、|AC|，可得△ABC面积，换元，利用基本不等式，可求△ABC面积的最大值．

（1）圆M：（x-3）²+（y-1）²=3的圆心M（3，1），半径为

3，直线AF的方程为[x/c+y＝1，即x+cy-c=0．

∵直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，

∴

|3+c−c|

c2+1]=

3，

∴c²=2，

∴a²=c²+1=3，

∴椭圆C的方程为

x2

3+y2=1；

（2）不妨设x＞1的方程x=n+t（n∈N₊，0≤t＜1），则y＝

1

n+t的方程为y＝−

1

kx+1．

由

y＝kx+1

x2

3+y2＝1得：（1+3k²）x²+6kx=0⇒xB＝−

6k

1+3k2---------（7分）

由

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．