这个比较好理解啊,但不是专业术语哈.你想,先看x从负无穷到0的过程,显然振荡是存在的,但是所谓的振幅是越变越小的,举个例子,当x从－1走到0的过程中,g(x)取值可以理解为－1...0...-1/2...0...－0.000000000000001...0...这样我们看到g(x)的取值越来越趋近于x轴,即g(x)＝0直线.所以从极限定义上看,当x无限趋近于0时候,取有理数,g(x)为0,取无理数,g(x)趋近于0.就具备了极限条件,我们就说其极限存在,为0.同理,再看x从正无穷到0,显然右极限也为0,所以极限是存在的.
另外楼主提到了微观,我们所说的都不是微观上,因为一微观相当于提高了精确度,比如说g(x)=1/x,求当x趋向于无穷大时候,g(x)的极限,我们知道结果是0,但是严格来看,x无论取多大,1/x都不可能为0,但是具备一个趋势,就是与0的差的绝对值无限趋近于0,这样我们才引出了极限的定义.极限的定义就是无限趋近,但是不能逾越.
lim (x*cos(1/x)) = lim x * lim cos(1/x) 这个分解是错误的.只有两个极限lim x 和lim cos(1/x)都存在的情况下,才能分解.请看好书.按照你的意思.lim 1＝limx*lim1/x,显然不成立.