Question

（1）三角形ABC中,AB=AC,P是BC上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于F,CG⊥AB于G,求证PE+PF=C

Answer 1

延长EP至D,作CD⊥ED

因为PF⊥AC ,CG⊥AB,又CD⊥ED

∴四边形CDEG是矩形

∴CG=ED

另外,∠1+∠B=90°,∠2+∠C=90°

∠B=∠C

∴∠1=∠2

又∠1=∠3（对顶角）

∴∠2=∠3,又PC公共

∴Rt△PCD全等Rt△PCE

∴PE=PD

∴PE+PF=PE+PD=CG

∵AB=CD,∠A+∠D=180°

∴AB//CD（内角互补）

∴四边形ABCD为平行四边形

又∵AB//CD

∵ △AOB是等边三角形,

∴△COD对应三角=60°

∴△COD也是等边三角形

∴ OD=OC=CD=AO=BO=AB（对角线互相平分）

∴△OAD为顶角为120°、底角（∠1=∠3）为30°的等腰三角形

∴∠A= ∠AOB+ ∠1=60°+30°=90°（有一角为直角）

∴ 四边形ABCD是矩形（对角线互相平分、有一角为直角）