Question

函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若任意的x∈R，不等式f（ax2）

Answer 1

解题思路：根据函数图象变换以及函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可以得到y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而确定了函数f（x）的奇偶性，再利用奇偶性将不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0对任意的x∈R恒成立，转化为f（ax²）＞f（-ax-1）对任意的x∈R恒成立，利用函数的单调性去掉“f”，得到ax²+ax+1＞0对任意的x∈R恒成立，从而求得实数a的取值范围．

∵y=f（x-1）是由y=f（x）的图象向右平移1个单位得到的，

又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，

∴y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，

∴y=f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（-x）=f（x），

∴不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0，即为f（ax²）＞-f（ax+1），即f（ax²）＞f（-ax-1），

∵任意的x∈R，不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0恒成立，

∴f（ax²）＞f（-ax-1）对任意的x∈R恒成立，

∵函数y=f（x）是定义在R上的增函数，

∴ax²＞-ax-1对任意的x∈R恒成立，即ax²+ax+1＞0对任意的x∈R恒成立，

①当a=0时，不等式为1＞0恒成立，符合题意；

②当a≠0时，则有

a＞0

△＝a2−4a＜0，解得0＜a＜4，

综合①②，a的取值范围为[0，4）．

故选B．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数的恒成立问题，利用函数的单调性求解不等式，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式．同时考查了恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于函数知识的综合应用．属于中档题．