4^1012-1=(4-1)(4^1011+…+1)=3(4^1011+…+1)
7^1012-1=(7-1)(7^1011+…+1)=3×2(7^1011+…+1)
10^1012-1=(10-1)(10^1011+…+1)=3×3(10^1011+…+1)
原式=(4^1012-1)+(7^1012-1)+(10^1012-1)+3
=3[(4^1011+…+1)+2(7^1011+…+1)+3(10^1011+…+1)+1]
结论：(4^2012＋7^2012＋10^2012)是3的倍数,故余数是0 .