Question

已知动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积的最小为___

Answer 1

解题思路：根据由于圆经过点F（0，1）且与直线y=-1相切，所以圆心C到点F与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x²=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解．

圆C的面积的最小，圆C半径r最小才行．

设圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，

（0-a）²+（1-b）²=r²，

r=b+1，

联立解得b=

a2

4，

|3a−4b+20|

5≤r，

r≥

|3a−4b+20|

5=

|−a2+3a+20|

5，

当C（a，b）与O（0，0）在3x-4y+20＞0区域内时，

a2

4+1＝

−a2+3a+20

5，

解得a≤-2，或a≥[10/3]，

当a=-2时，b=1，r=2，当a=[10/3]时，b=[25/9]，r＞2 不符，舍．

∴圆C的面积的最小为S=4π．

故答案为：4π．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要注意点与圆、线与圆的位置关系在求圆的方程中的应用．