解题思路：（1）求出F（X）的解析式，通过换元，转化为二次函数，通过配方求出二次函数的对称轴，求出函数的最值．
（2）求出H（x）的解析式，求出其导函数，判断出导函数的符号，根据导函数的符号与函数单调性的关系判断出函数的单调性．
（1）F（x）=(
1
2)2x−(
1
2)x
令t＝(
1
2)x（t＞0）则
y=t2−t＝(t−
1
2)2−
1
4
当t＝
1
2，y最小为−
1
4
当t=2时，y有最大值为2
故F（x）的值域为[-[1/4]，2]
（2）H（x）=4x−
3
x+1+1
∵H′(x)＝4xlnx+
3
(x+1)2＞0
∴H（x）在（-1，+∞）单调递增
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域．
考点点评： 本题考查换元的数学方法、考查二次函数的最值的求法、考查利用导数研究函数的单调性．