解题思路：（1）a=2时，求出f'（x），解f'（x）＞0可得增区间，解f'（x）＜0可得减区间；
（2）令f'（x）=0可得x=1或x=a，按照a=1，0＜a＜1，a＞1三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，使其最大值为f（a+1）即可；
f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
（1）当a=2时，f′（x）=6（x-1）（x-a）=6（x-1）（x-2），
当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0，当1＜x＜2，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间分别为（-∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；
（2）（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6（x-1）2≥0，f（x）在[0，a+1]上单调递增，最大值为f（a+1）；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，列表如下：
x 0 （0，a） a （a，1） 1 （1，1+a） a+1
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值f（a） 减 增 由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（a）或 f（a+1），
∴只需f（a+1）-f（a）=（-a3+3a2+3a-1）-（-a3+3a2）=3a-1≥0，
解得a≥[1/3]，此时[1/3]≤a＜1；
（Ⅲ）当a＞1时，列表如下：
x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，1+a） a+1
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值f（1） 减 增 由表知f（x）在[0，a+1]上的最大值，只有可能是f（1）或 f（a+1）
∴只需f（a+1）-f（1）=（-a3+3a2+3a-1）-（3a-1）=-a3+3a2=-a2（a-3）≥0，
解得a≤3，此时1＜a≤3．
由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）得[1/3]≤a≤3，
∴满足条件的a的取值范围是[[1/3]，3]．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、利用求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．