解题思路：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可证明BD=AD，再根据含30°角的直角三角形性质可证明：AD：DC=1；2，所以BD：DC=1：2；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，设A1C分别交AE1，AB于点M和N，证明△A1E1B∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证明线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数．
（1）如图1，连接AD，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABC=30°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°，
在Rt△ACD中，∠C=30°，
∴AD：DC=1；2，
∴BD：DC=1：2；
（2）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，
由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，
∵点E与点D关于直线AB对称，
∴AE=BE，∠BEA=120°，
∵△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1．
∴A1E1=E1B，∠A1E1B=120°，
∴∠2=30°，
∵∠1=30°，∠BAC=120°，
∴△A1E1B∽△ABC，
∴
E1B
AB＝
A1B
BC，∠E1AB=∠A1CB，
∵∠1=30°，cos∠1=[BE/AB]，
∴
BE
AB＝
3
2，
∴BC=
3AB，
∴
AE1
A1C＝
AB
BC=
3
3，
设A1C分别交AE1，AB于点M和N，
∵∠ANM=∠BNC，且∠NAM=∠NCB，
∴∠AMN=∠1=30°，
∴AE1与A1C的夹角的度数为30°，
∴线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数分别是A1C=
3AE1和30°．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、图形旋转的性质以及特殊角的锐角三角函数值，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．