Question

函数f(x)=lnx-[a(x-1)]/x(x>0,a∈R) 1,当a>0时,求证：函数f（x）的图像存在唯一零点的充要

Answer 1

1;f(x)=lnx-[a(x-1)]/x =lnx-a+a/x

f'(x)=1/x-a/x^2 = (x-a)/x^2 所以图象在x>0 先单调递减 后递增

做一要有零点的条件就是这个极小值点刚好出现在零点

即 x=a 时f(x)为极小值 f(a)=0,lna-a+a/a=0,lna=a-1 可解得a=1

2; 1/lnx-1/(x-1)]g(1)=0

所以原不等式成立