Question

超一流数学高手、数学教师请进(极限029)

Answer 1

原式=（x->+0）lime^[ln(cos√x)/x]

=e^{(x->+0)lim[ln(cos√x)/x]}

=e^{(x->+0)lim[(sin√x/√x)/(-2cos√x)]} (用一次罗比达法)

=e^{(x->+0)lim[(sin√x/√x)]*(x->+0)lim[1/(2cos√x)]}

∵（x->+0)lim[(sin√x/√x)]=1

（x->+0)lim[1/(-2cos√x)]=-1/2

∴原式=e^(1*(-1/2))=e^(-1/2)=1/√e.

另一种解法：

∵(cos√x)^(1/x)={[(1+cos√x-1)^[1/(cos√x-1)]}^[(cos√x-1)/x]

又 （x->+0）lime){[(1+cos√x-1)^[1/(cos√x-1)]}=e

(x->+0)lime[(cos√x-1)/x]

=(x->+0)lime{[sin(√x/2)/(√x/2)]²/(-2)}=-1/2

∴原式=e^(-1/2)=1/√e.