如图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M、N分别为AB、PD上的点,且[AM/MB]=[DN/NP],求证:直线MN

2个回答

  • 解题思路:要证直线MN∥平面PBC,只需证明MN∥平面PBC内的一条直线(法一和法三)

    MN所在的某个平面∥平面PBC(法二).

    证明:证法一:过N作NR∥DC交PC于点R,连接RB,

    依题意得[DC−NR/NR]=[DN/NP]=[AM/MB]=[AB−MB/MB]=[DC−MB/MB]⇒NR=MB.

    ∵NR∥DC∥AB,∴四边形MNRB是平行四边形.

    ∴MN∥RB.又∵RB⊊平面PBC,∴直线MN∥平面PBC.

    证法二:过N作NQ∥AD交PA于点Q,连接QM,∵[AM/MB]=[DN/NP]=[AQ/QX],

    ∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC,∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.

    证法三:过N作NR∥DC交PC于点R,连接RB,依题意有[BM/A]=[PN/PD]=[NR/DC],

    NR=

    MB,

    BR=++

    NR=

    MN.∴MN∥RB.又∵RB⊊平面PBC,∴直线MN∥平面PBC.

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题考查直线与平面的平行的判定,是基础题.