∫(0,x) f(t)dt是自变量为x的变上限积分函数,函数f(t)的自变量是t,但是它的积分和t没有关系,而是和积分区间有关,在不同的积分区间上,f(t)的积分不同,这里积分区间下限为定值0,上限是一个变量x,这样得到的积分和x有关,所以这个积分函数是关于自变量x的函数.
对于证明,我想你有答案了,应该知道怎么证了.
设F(x)=∫(0,x) f(t)dt ,则F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt ,设u=-t,则t=-u,dt=-du,
又f(t)是奇函数,所以f(t)=-f(-t)
于是F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt =∫(0,x) -f(-u)du=∫(0,x) f(u)dtu=F(x),
(这里只不过函数f(t)的自变量的符号不同而已,一个是t,一个是u)
所以∫(0,x) f(t)dt是偶函数.