Question

已知函数f（x）=−2x+b2x+1+a的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；

（2）由（1）可求出f（x）表达式，该问题可转化为x∈[-1，1]时，f（x）_max＜2t²-λt+1对任意t恒成立，结合二次函数图象可得λ的限制条件．

（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴

f(0)＝0

f(−1)＝−f(1)，

即

−1+b

2+a＝0

−

1

2+b

1+a＝−

−2+b

4+a，解得

a＝2

b＝1，此时f（x）=

−2x+1

2x+1+2，经检验可得f（-x）=-f（x），

故a=2，b=1．

（2）f（x）=

−2x+1

2x+1+2＝

−2x+1

2(2x+1)＝

−(2x+1)+2

2(2

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性，定义是解决该类问题的基础，不等式恒成立问题常转化为函数最值问题解决．