Question

f'(x)-f(x)sinx=-2sin2x,微分方程,怎么化简

Answer 1

方程对应的齐次线性方程为

dy/dx-ysinx=0

dy/y=sinx dx

ln|y|=-cosx+C1

y=±e^(-cosx+C1)

y=C2e^(-cosx)

用常数变易法,把C2换成u,

y=ue^(-cosx)

dy/dx=u' e^(-cosx)+usinxe^(-cosx)

代入y '-ysinx=-2sin2x,得

u' =2sin2x e^(cosx)

两端积分得

u=-4e^(cosx) (cosx-1)+C

所以通解

y=[-4e^(cosx) (cosx-1)+C]e^(-cosx)

=-4(cosx-1)+Ce^(-cosx)