已知x=1是函数f(x)=13ax3−32x2+(a+1)x+5的一个极值点.

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  • 解题思路:(I)利用三次函数在极值点处的导数为零,即可解得a的值,进而确定函数的解析式;

    (II)将两曲线有三个交点问题,转化为函数g(x)=f(x)-(2x+m)有三个零点问题,利用导数研究函数g(x)的单调性和极值,找到问题的充要条件,列不等式即可解得m的范围

    (I)f′(x)=ax2-3x2+a+1由f′(1)=0得:a-3+a+1=0即a=1∴f(x)=13x3−32x2+2x+5(II)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点即13x3−32x2+2x+5-2x-m=0有三个根即g(x)=13x3−32x2+5−m有三个零点由g′(x)=x2-3x...

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题主要考查了导数在函数极值、单调性中的应用,三次函数的图象和性质,构造函数研究函数零点分布问题,转化化归的思想方法