Question

若曲线f（x）=xsinx+1在x＝π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则(ax2−1x)5展开式中x的系数为

Answer 1

解题思路：由题意可得 f′（[π/2]）=[2/a]，求得a=2．在

(a

x

2

−

1

x

)

5

=

(2

x

2

−

1

x

)

5

的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得

(a

x

2

−

1

x

)

5

展开式中x的系数．

由题意可得曲线f（x）=xsinx+1在x＝

π

2处的切线斜率为 [2/a]，

故有f′（[π/2]）=[2/a]，即 sin[π/2]+[π/2]cos[π/2]=[2/a]，解得a=2．

则(ax2−

1

x)5=(2x2−

1

x)5 的通项公式为 T_r+1=

Cr5•2^5-r•（-1）^r•x^10-3r，

令10-3r=1，求得r=3，故(ax2−

1

x)5展开式中x的系数为-10×4=-40，

故选：D．

点评：

本题考点： 二项式定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．