正弦函数的图象与性质

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  • 定义与定理

    定义:对于任意一个实数x都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数),而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x,这样,对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为f(x)=sin x,叫做正弦函数.

    正弦函数的定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a/sin A=b/sin B=c/sin C

    在直角三角形ABC中,∠C=90°,y为一条直角边,r为斜边,x为另一条直角边(在坐标系中,以此为底),则sin A=y/r,r=√(x^2+y^2)

    定义域

    实数集R

    值域

    [-1,1] (正弦函数有界性的体现)

    最值和零点

    ①最大值:当x=2kπ+(π/2) ,k∈Z时,y(max)=1

    ②最小值:当x=2kπ+(3π/2),k∈Z时,y(min)=-1

    零值点:(kπ,0) ,k∈Z

    对称性

    既是轴对称图形,又是中心对称图形.

    1)对称轴:关于直线x=(π/2)+kπ,k∈Z对称

    2)中心对称:关于点(kπ,0),k∈Z对称

    周期性

    最小正周期:y=Asin(ωx+φ) T=2π/|ω|

    奇偶性

    奇函数 (其图象关于原点对称)

    单调性

    在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z上是单调递增.

    在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ],k∈Z上是单调递减