解题思路：A、利用一副三角板根据平行线的判定方法构造图形，完成作已知直线的平行线；
B、可以在角的两条边上分别截取两对相等的线段，构造全等三角形可以作已知角的角平分线；
C、还必须再借助一个直尺，根据连接圆的两条平行切线的切点的线段是直径，才能完成测量；
D、根据中点的定义用三角板得到三角形两边的中点即可求解．
A、利用一副三角板可以构造一对同位角相等，完成作已知直线的平行线，不符合题意；
B、可以在角的两条边上分别截取两对相等的线段从而构造全等三角形，利用全等三角形的性质可以作已知角的角平分线，不符合题意；
C、还必须再借助一个直尺，根据连接圆的两条平行切线的切点的线段是直径，才能完成测量，符合题意；
D、用三角板得到三角形两边的中点，再连结即为已知三角形的中位线，不符合题意．
故选C．
点评：
本题考点： 作图—复杂作图；圆周角定理．
考点点评： 考查了作图-复杂作图，在作图的时候，注意根据应依据的定理进行分析．