Question

已知双曲线C1:x2/a2-y2/b2的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,若A

Answer 1

抛物线焦点为F(0,p/2),

e=c/a=2,

∴c=2a,

b=√(c^2-a^2)=√(4a^2-a^2)=√3a,

双曲线一渐近线方程为:y=bx/a=√3x,

√3x-y=0,

抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d=|0-p/2|/√(1+3)=|p|/4=2,

∴p=±8,

∴抛物线方程为:x^2=±16y,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

向量OA=(x1,y1),

向量OB=(x2,y2),

∵OA⊥OB,

∴OA·OB=0.

x1x2+y1y2=0,

x1^2=16y1,

x2^2=16y2,

x1x2+(x1^2/16)(x2^2/16)=0,

x1x2+(x1x2)^2/256=0,

∴x1x2=-256,(1)

y1y2=256,(2)

设AB方程为:y=kx+m,

x^2=±16*(kx+m),

x^2±16kx-16m=0,

根据韦达定理,

x1*x2=-16m,

由(1)式得:-256=-16m,

∴m=16,

从直线方程x=kx+m可知,m是直线在Y轴的截距,即是交点的纵坐标,

∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16,应选 B.