解题思路：利用双曲线方程算出B（c，
b
2
a
）、C（c，-
b
2
a
），由双曲线的性质得△ABC为等腰直角三角形，可得A到BC的距离等于BC长的一半，由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率的方程，即可解出双曲线E的离心率．
∵过双曲线
x2
a2-
y2
b2=1的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，
∴设x=c，得
c2
a2-
y2
b2=1，解之得y=±
b2
a，得B（c，
b2
a）、C（c，-
b2
a）
∵左顶点A（-a，0）与B、C构成直角三角形，
∴根据双曲线的对称性，得A到BC的距离等于BC长的一半，
可得c+a=
b2
a，即c+a=
c2−a2
a，化简得c2-ac-2a2=0
两边都除以a2，得e2-e-2=0，解之得e=2（舍负）
即双曲线E的离心率为2
故答案为：2
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．
考点点评： 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．