方程F(x,y)=0…①的曲线F和方程G(x,y)=0…②的曲线G的交点坐标一定同时满足①②
因此也必然满足方程m·F+n·G=0…③(其中m,n为不同为0的实数)
这就意味着方程m·F+n·G=0的曲线T一定通过曲线F与曲线G的交点.当m,n取不同值的时候可以得到一系列的方程,一般把形如m·F+n·G=0的方程叫做“通过曲线F与曲线G的交点的曲线系方程”,把这一系列曲线叫做“通过曲线F与曲线G的交点的曲线系”.
但需要注意一个点P(x,y)满足方程m·F+n·G=0只是P为曲线F与曲线G的交点的一个必要条件,并不充分,这是很明显的.
曲线系的产生是因为很多时候,我们只需要求过某些曲线交点的特定类型曲线,而无需求出具体的交点坐标.此时,我们只需要取合适的m,n的值,使对应的曲线系方程所表述的曲线就是该类型的即可.
在这个题目中,曲线F就是圆x^2+y^2=10,曲线G就是圆（X-1)^2+(y-3)^2=20,曲线系方程就是
m·（x^2+y^2-10）+n·【（X-1)^2+(y-3)^2-20】=0
第一步就是取m=1,n=-1,这样曲线系方程就会是二元一次方程,所表述的也就是直线；
第二步,我们需要得到圆,且需要这个圆过点(1,1),因此取m=2,n=-1就可以了（当然了,楼主原题利用了第一步的结果,也就是使用了直线与圆交点的曲线系,这和两圆交点的曲线系本质是一样的）.