Question

已知抛物线Y^2=2PX 过焦点F的直线L交抛物线于AB两点,O为原点坐标,求证：OA乘OB为定值

Answer 1

(1)设A(x1,y1) B(x2,y2)直线AB的方程为x=my+p/2,

与y²=2px联立得y²-2pmy-p²=0,所以y1y2=-p²

x1x2=y1²/2p×y2²/2p=(y1y2)²/4p²=p²/4,

∴向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=－3/4 p²

(2)因为向量OP=m向量OA+(m-1)向量OB(m∈R) 所以向量OB+向量OP=m(向量OA+向量OB) 所以（x,y-1）=m(1,-1) 所以x=m,且y-1=-m 所以点P轨迹方程为y=-x+1