.设直线L的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)由y=x and y=kx+b 得A(b/1-k,b/1-k),(k≠0)
同理得B(-b/1+k,b/1+k),∴x=(x1+x2)/2=kb/1-k² y=(y1+y2)/2=b/1-k²
由x和y得：k=x/y,b=(y²-x²)/y
∵圆C与y=x和y=-x都相切
∴圆C的半径r=√2
∵AB：kx-y+b=0与圆C相切,
∴|2k+b|/√k²+1=√2 ,即2k2+4kb+b2=0
将k和b代入2k2+4kb+b2=0
(y2-x2)+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0
∵y2≠x2,∴y2-x2+4x-2=0即(x-2)²-y²=2.(y≠0)
当L⊥x轴时,线段AB的中点M(2±√2,0)也符合上面的方程,其轨迹在∠AOB内