Question

已知点F（1，0），直线L：x=-1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由抛物线的定义，即可得到所求轨迹C的方程；

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用中点坐标公式，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y-2=k（x-4），联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，由韦达定理，得到k的方程，解出k，检验即可判断．

（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，

∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=-1为准线的抛物线，

其方程是：y²=4x；

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，

设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，

当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y-2=k（x-4），

联立方程组

y−2＝k(x−4)

y2＝4x得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k²）=0，

∴x₁+x₂=

8k2−4k+4

k2=8，解得k=1，

当k=1时，方程x²-8x-2=0满足△＞0，

∴存在直线m，且所求的直线方程是x-y-2=0．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．

考点点评： 本题考查抛物线的定义和方程，考查联立直线方程和抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．