Question

双曲线C： ="1" (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使 · =0，求此双

Answer 1

双曲线C：

="1" (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使

·

=0，求此双曲线离心率的取值范围.

设P点坐标为（x,y），

则由

·

=0，得AP⊥PQ，

则P点在以AQ为直径的圆上，

即

+y ²=

①

又P点在双曲线上，得

="1" ②

由①，②消去y,得

(a ²+b ²)x ²-3a ³x+2a ⁴-a ²b ²=0.

即［（a ²+b ²）x ²-（2a ³-ab ²）］（x-a）=0.

当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去.

当x=

时，满足题意的P点存在，

需x=

＞a,化简得a ²＞2b ²,

即3a ²＞2c ²,

＜

.∴离心率e=

∈

.