Question

三角形ABC中 求证：[1/(1+sin(A/2))]+ [1/(1+sin(B/2))]+ [1/(1+sin(C/2

Answer 1

设三角形ABC中,顶点A、B、C所对边长分别为a、b、c

内切圆圆心为O,半径为r,切BC、CA于D、E

延长AO交BC于F

过A作BC上的高AG,长为hA

1/(1+sin(A/2))=1/(1+OE/OA)

=OA/(OA+r)

因为OA+r=OA/AF

=1-OF/AF

=1-OD/AG

=1-r/hA

因为ar/2+br/2+cr/2=S=ahA/2

所以r/hA=a/(a+b+c)

所以1/(1+sin(A/2))>=1-a/(a+b+c)

同理可得：

1/(1+sin(B/2))>=1-b/(a+b+c)

1/(1+sin(C/2))>=1-c/(a+b+c)

所以原不等式左边>=1-a/(a+b+c)+1-b/(a+b+c)1-c/(a+b+c)=2