Question

已知实数a,b满足:关于x的不等式|x 2 +ax+b|≤|2x 2 -4x-16|对一切x∈R均成立.

Answer 1

(1)见解析 (2)a=-2,b=-8，理由见解析 (3) (-∞,2]

(1)当a=-2,b=-8时,有

|x ²+ax+b|=|x ²-2x-8|≤2|x ²-2x-8|

=|2x ²-4x-16|.

(2)在|x ²+ax+b|≤|2x ²-4x-16|中,

分别取x=4,x=-2,

得

,所以

,

所以a=-2,b=-8,

因此满足题意的实数a,b只能是a=-2,b=-8.

(3)由x ²+ax+b≥(m+2)x-m-15(x>2),

所以x ²-2x-8≥(m+2)x-m-15,

即x ²-4x+7≥m(x-1),

所以对一切x>2,均有不等式

≥m成立,

而

=(x-1)+

-2

≥2

-2=2(当且仅当x=3时等号成立),

所以实数m的取值范围是(-∞,2].