Question

已知f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，证明f（x）在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

解题思路：任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，利用f（x）在（0，+∞）上是减函数，及f（x）为偶函数，判断出f（x₁）＜f（x₂），根据增函数的定义可得答案．

证明：任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，

则-x₁，-x₂∈（0，+∞）且-x₁＞-x₂，

∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，

∴f（-x₁）＜f（-x₂）

又∵f（x）为偶函数，

f（x₁）=f（-x₁），f（x₂）=f（-x₂）

∴f（x₁）＜f（x₂）

即f（x）在（-∞，0）上是增函数

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，熟练掌握函数奇偶性的性质及单调性的证明步骤是解答的关键．