Question

已知函数f(x)＝log12(3+2x−x2)．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设t=3+2x-x²，则

y＝lo

g

1

2

t

．求出f（x）的定义域，先研究t，y的单调性，再根据复合函数单调性的判定方法即可求得f（x）的单调区间，注意定义域；

（Ⅱ）在f（x）的定义域内先求函数t=-（x-1）²+4的值域，再结合为y=log₂t的单调性即可求得f（x）的值域；

（Ⅰ）设t=3+2x-x²，则y＝log

1

2t．

由t=3+2x-x²＞0得x²-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得-1＜x＜3．

因为t=-（x-1）²+4，所以抛物线的对称轴为x=1．

当x∈（-1，1]时，t是x的增函数，y是t的减函数；

当x∈[1，3）时，t是x的减函数，y是t的减函数．

所以，函数f（x）的单调递增区间为[1，3），单调递减区间为（-1，1]．

（Ⅱ）如图：

由（Ⅰ）知t=-（x-1）²+4，当x=1时，t_max=4．

又因为y=log₂t在（0，4]上是减函数，

所以当t_max=4时，ymin＝log

1

24＝log

1

2(

1

2)−2＝−2．

故函数f（x）的值域为[-2，+∞）．

点评：

本题考点： 复合函数的单调性；函数的值域．

考点点评： 本题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质及函数值域的求解，属中档题，判断复合函数单调性的方法：“同增异减”．